Квадрат суми

Формули скороченого множення · 15–16 років

Шпаргалка

Усі формули в одному місці. Біля кожної є приклад і кнопка, щоб одразу потренуватися.

Квадрат суми
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a² ab ab b² a b a b

Квадрат зі стороною a + b складається з квадрата a², квадрата b² і двох прямокутників ab. Звідси й береться середній доданок 2ab.

Квадрат першого виразу плюс подвоєний добуток першого й другого виразів плюс квадрат другого виразу.

Приклад (x + 3)2 = x2 + 2·x·3 + 32 = x2 + 6x + 9 (2x + 5y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2
Квадрат різниці
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Так само, як квадрат суми, тільки перед середнім доданком стоїть мінус. Останній доданок b² завжди додатний.

Приклад (2x − 5)2 = (2x)2 − 2·2x·5 + 52 = 4x2 − 20x + 25
Різниця квадратів
a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Працює в обидва боки: допомагає швидко розкрити дужки й розкласти вираз на множники.

Приклади 9x2 − 49 = (3x − 7)(3x + 7) 98 · 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10 000 − 4 = 9 996
Звільнення від ірраціональності в знаменнику
a√m − n = a(√m + n)m − n2

Множимо чисельник і знаменник на спряжений вираз (той самий двочлен, але з протилежним знаком). У знаменнику утворюється різниця квадратів, і корінь зникає.

Приклад 4√5 − 1 = 4(√5 + 1)5 − 1 = √5 + 1
Вираження змінної з формули

Щоб виразити змінну, виконуй з обома частинами рівності ту саму обернену дію: додавання ↔ віднімання, множення ↔ ділення, піднесення до квадрата ↔ добування кореня. Дію записуй після риски, як у зошиті.

Приклад: вирази h
S = a·h2/ ·2
2S = a·h/ :a
h = 2Sa
Типові помилки
(a + b)2 = a2 + b2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(3x)2 = 3x2(3x)2 = 9x2
5 − (x − 2) = 5 − x − 25 − (x − 2) = 5 − x + 2
√a2 + b2 = a + b√a2 + b2 не спрощується
(√3)2 = 9(√3)2 = 3,  (2√3)2 = 4·3 = 12

Варто знати: (a − b)2 = (b − a)2, бо протилежні числа мають однакові квадрати.

Поглиблений рівень

Кубипоглиблено
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

У формулах суми й різниці кубів друга дужка — це «неповний квадрат»: у ній просто ab (а не 2ab), і знак перед ним протилежний до знака в першій дужці.

Приклад x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)