Druhá mocnina súčtu

Vzorce na úpravu algebraických výrazov · 15–16 rokov

Ťahák

Všetky vzorce na jednom mieste. Pri každom nájdeš príklad a tlačidlo na precvičovanie.

Druhá mocnina súčtu
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a² ab ab b² a b a b

Štvorec so stranou a + b sa skladá zo štvorca a², štvorca b² a dvoch obdĺžnikov ab. Odtiaľ pochádza prostredný člen 2ab.

Druhá mocnina prvého člena, plus dvojnásobný súčin prvého a druhého, plus druhá mocnina druhého člena.

Príklad (x + 3)2 = x2 + 2·x·3 + 32 = x2 + 6x + 9 (2x + 5y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2
Druhá mocnina rozdielu
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Rovnako ako druhá mocnina súčtu, len prostredný člen má mínus. Posledný člen b² je vždy kladný.

Príklad (2x − 5)2 = (2x)2 − 2·2x·5 + 52 = 4x2 − 20x + 25
Rozdiel štvorcov
a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Funguje oboma smermi: pomôže ti rýchlo roznásobiť zátvorky aj rozložiť výraz na súčin.

Príklady 9x2 − 49 = (3x − 7)(3x + 7) 98 · 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10 000 − 4 = 9 996
Usmernenie zlomku
a√m − n = a(√m + n)m − n2

Čitateľa aj menovateľa vynásobíme združeným výrazom (rovnaký dvojčlen s opačným znamienkom). V menovateli vznikne rozdiel štvorcov a odmocnina zmizne.

Príklad 4√5 − 1 = 4(√5 + 1)5 − 1 = √5 + 1
Vyjadrenie zo vzorca

Ak chceš vyjadriť premennú, rob na oboch stranách rovnakú opačnú operáciu: sčítanie ↔ odčítanie, násobenie ↔ delenie, druhá mocnina ↔ odmocnina. Operáciu si zapisuj za lomku, ako v zošite.

Príklad: vyjadri h
S = a·h2/ ·2
2S = a·h/ :a
h = 2Sa
Časté chyby
(a + b)2 = a2 + b2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(3x)2 = 3x2(3x)2 = 9x2
5 − (x − 2) = 5 − x − 25 − (x − 2) = 5 − x + 2
√a2 + b2 = a + b√a2 + b2 sa nedá zjednodušiť
(√3)2 = 9(√3)2 = 3,  (2√3)2 = 4·3 = 12

Dobré vedieť: (a − b)2 = (b − a)2, pretože opačné čísla majú rovnakú druhú mocninu.

Rozširujúce učivo

Tretie mocninyrozšírenie
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Pri súčte a rozdiele tretích mocnín je v druhej zátvorke len jedno ab (nie 2ab), a to s opačným znamienkom ako v prvej zátvorke.

Príklad x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)