Kwadrat Sumy

Wzory skróconego mnożenia · klasa 1 LO

Ściąga

Wszystkie wzory w jednym miejscu. Przy każdym znajdziesz przykład i przycisk do ćwiczeń.

Kwadrat sumy
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a² ab ab b² a b a b

Kwadrat o boku a + b składa się z kwadratu a², kwadratu b² i dwóch prostokątów ab. Stąd bierze się środkowy wyraz 2ab.

Kwadrat pierwszego, plus podwojony iloczyn pierwszego i drugiego, plus kwadrat drugiego.

Przykład (x + 3)2 = x2 + 2·x·3 + 32 = x2 + 6x + 9 (2x + 5y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2
Kwadrat różnicy
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Tak samo jak kwadrat sumy, tylko środkowy wyraz ma minus. Ostatni wyraz b² jest zawsze dodatni.

Przykład (2x − 5)2 = (2x)2 − 2·2x·5 + 52 = 4x2 − 20x + 25
Różnica kwadratów
a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Działa w obie strony: pozwala szybko wymnożyć nawiasy i rozłożyć wyrażenie na czynniki.

Przykłady 9x2 − 49 = (3x − 7)(3x + 7) 98 · 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10 000 − 4 = 9996
Usuwanie niewymierności z mianownika
a√m − n = a(√m + n)m − n2

Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone (ten sam dwumian z przeciwnym znakiem). W mianowniku powstaje różnica kwadratów i pierwiastek znika.

Przykład 4√5 − 1 = 4(√5 + 1)5 − 1 = √5 + 1
Przekształcanie wzorów

Aby wyznaczyć zmienną, wykonuj na obu stronach tę samą operację odwrotną: dodawanie ↔ odejmowanie, mnożenie ↔ dzielenie, kwadrat ↔ pierwiastek. Operację zapisuj po kresce, jak w zeszycie.

Przykład: wyznacz h
P = a·h2/ ·2
2P = a·h/ :a
h = 2Pa
Typowe błędy
(a + b)2 = a2 + b2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(3x)2 = 3x2(3x)2 = 9x2
5 − (x − 2) = 5 − x − 25 − (x − 2) = 5 − x + 2
√a2 + b2 = a + b√a2 + b2 nie da się uprościć
(√3)2 = 9(√3)2 = 3,  (2√3)2 = 4·3 = 12

Warto wiedzieć: (a − b)2 = (b − a)2, bo kwadrat liczby przeciwnej jest taki sam.

Zakres rozszerzony

Sześcianyrozszerzenie
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Przy sumie i różnicy sześcianów w drugim nawiasie jest pojedyncze ab (nie 2ab), ze znakiem przeciwnym niż w pierwszym nawiasie.

Przykład x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)