Quadrat einer Summe

Binomische Formeln · etwa 15–16 Jahre

Merkblatt

Alle Formeln mit Beispielen und einer Taste zum Üben.

Quadrat einer Summe
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a² ab ab b² a b a b

Ein Quadrat mit der Seite a + b besteht aus einem Quadrat a², einem Quadrat b² and zwei Rechtecken ab. Daher kommt der mittlere Term 2ab .

Quadrat des ersten Terms plus doppeltes Produkt plus Quadrat des zweiten Terms.

Beispiel (x + 3)2 = x2 + 2·x·3 + 32 = x2 + 6x + 9 (2x + 5y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2
Quadrat einer Differenz
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Wie beim Quadrat einer Summe, aber der mittlere Term hat ein Minus. Der letzte Term b² ist immer positiv.

Beispiel (2x − 5)2 = (2x)2 − 2·2x·5 + 52 = 4x2 − 20x + 25
Differenz zweier Quadrate
a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Die Formel funktioniert in beide Richtungen: zum Ausmultiplizieren und zum Faktorisieren.

Beispiele 9x2 − 49 = (3x − 7)(3x + 7) 98 · 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10,000 − 4 = 9,996
Nenner rational machen
a√m − n = a(√m + n)m − n2

Multipliziere Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck. Im Nenner entsteht eine Differenz von Quadraten; die Wurzel verschwindet.

Beispiel 4√5 − 1 = 4(√5 + 1)5 − 1 = √5 + 1
Formeln umstellen

Zum Isolieren einer Variablen verwende dieselbe Umkehroperation auf beiden Seiten: plus ↔ minus, mal ↔ geteilt, Quadrat ↔ Quadratwurzel. Notiere jeden Schritt.

Beispiel: nach h auflösen
A = a·h2/ ·2
2A = a·h/ ÷a
h = 2Aa
Häufige Fehler
(a + b)2 = a2 + b2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(3x)2 = 3x2(3x)2 = 9x2
5 − (x − 2) = 5 − x − 25 − (x − 2) = 5 − x + 2
√a2 + b2 = a + b√a2 + b2 lässt sich nicht vereinfachen
(√3)2 = 9(√3)2 = 3,  (2√3)2 = 4·3 = 12

Merke: (a − b)2 = (b − a)2, denn entgegengesetzte Zahlen haben das gleiche Quadrat.

Erweiterung

Dritte PotenzenErweiterung
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Bei Summe und Differenz von dritten Potenzen steht in der zweiten Klammer nur einmal ab (not 2ab), mit entgegengesetztem Vorzeichen zur ersten Klammer.

Beispiel x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)