Quadrato di una somma

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Quadrato di una somma
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a² ab ab b² a b a b

Un quadrato di lato a + b è composto da un quadrato a², un quadrato b² and due rettangoli ab. Da qui deriva il termine centrale 2ab .

Quadrato del primo termine, più doppio prodotto, più quadrato del secondo.

Esempio (x + 3)2 = x2 + 2·x·3 + 32 = x2 + 6x + 9 (2x + 5y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2
Quadrato di una differenza
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Come il quadrato di una somma, ma il termine centrale ha il meno. L’ultimo termine b² è sempre positivo.

Esempio (2x − 5)2 = (2x)2 − 2·2x·5 + 52 = 4x2 − 20x + 25
Differenza di quadrati
a2 − b2 = (a − b)(a + b)

La formula funziona in entrambi i sensi: per sviluppare e scomporre.

Esempi 9x2 − 49 = (3x − 7)(3x + 7) 98 · 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10,000 − 4 = 9,996
Razionalizzare il denominatore
a√m − n = a(√m + n)m − n2

Moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato. Al denominatore si ottiene una differenza di quadrati e la radice scompare.

Esempio 4√5 − 1 = 4(√5 + 1)5 − 1 = √5 + 1
Trasformare formule

Per isolare una variabile, applica la stessa operazione inversa a entrambi i membri: addizione ↔ sottrazione, moltiplicazione ↔ divisione, quadrato ↔ radice quadrata. Scrivi ogni passaggio.

Esempio: isola h
A = a·h2/ ·2
2A = a·h/ ÷a
h = 2Aa
Errori frequenti
(a + b)2 = a2 + b2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(3x)2 = 3x2(3x)2 = 9x2
5 − (x − 2) = 5 − x − 25 − (x − 2) = 5 − x + 2
√a2 + b2 = a + b√a2 + b2 non si può semplificare
(√3)2 = 9(√3)2 = 3,  (2√3)2 = 4·3 = 12

Da sapere: (a − b)2 = (b − a)2, perché due numeri opposti hanno lo stesso quadrato.

Approfondimento

Cubiapprofondimento
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Nella somma e differenza di cubi, la seconda parentesi contiene una sola volta ab (not 2ab), con il segno opposto a quello della prima parentesi.

Esempio x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)