Квадрат на сбор

Формули за съкратено умножение · 15–16 години

Пищов

Всички формули на едно място. При всяка ще намериш пример и бутон за упражнения.

Квадрат на сбор
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a² ab ab b² a b a b

Квадрат със страна a + b се състои от квадрат a², квадрат b² и два правоъгълника ab. Оттук идва средният член 2ab.

Квадратът на първия член, плюс удвоеното произведение на първия и втория, плюс квадратът на втория.

Пример (x + 3)2 = x2 + 2·x·3 + 32 = x2 + 6x + 9 (2x + 5y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2
Квадрат на разлика
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Също като квадрата на сбор, само че средният член е с минус. Последният член b² винаги е положителен.

Пример (2x − 5)2 = (2x)2 − 2·2x·5 + 52 = 4x2 − 20x + 25
Разлика от квадрати
a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Работи и в двете посоки: помага ти бързо да умножиш скобите и да разложиш израз на множители.

Примери 9x2 − 49 = (3x − 7)(3x + 7) 98 · 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10 000 − 4 = 9996
Рационализиране на знаменател
a√m − n = a(√m + n)m − n2

Умножаваме числителя и знаменателя по спрегнатия израз (същия двучлен с обратен знак). В знаменателя се получава разлика от квадрати и коренът изчезва.

Пример 4√5 − 1 = 4(√5 + 1)5 − 1 = √5 + 1
Изразяване от формула

За да изразиш променлива, извършвай една и съща обратна операция и от двете страни: събиране ↔ изваждане, умножение ↔ деление, повдигане на квадрат ↔ коренуване. Записвай операцията след наклонена черта, като в тетрадката.

Пример: изрази h
S = a·h2/ ·2
2S = a·h/ :a
h = 2Sa
Чести грешки
(a + b)2 = a2 + b2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(3x)2 = 3x2(3x)2 = 9x2
5 − (x − 2) = 5 − x − 25 − (x − 2) = 5 − x + 2
√a2 + b2 = a + b√a2 + b2 не може да се опрости
(√3)2 = 9(√3)2 = 3,  (2√3)2 = 4·3 = 12

Полезно е да знаеш: (a − b)2 = (b − a)2, защото противоположните числа имат еднакви квадрати.

Разширено ниво

Кубоверазширено
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

При сбор и разлика от кубове във втората скоба има единично ab (не 2ab), със знак, обратен на този в първата скоба.

Пример x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)