Carré d’une somme

Identités remarquables · environ 15–16 ans

Aide-mémoire

Toutes les identités avec des exemples et un bouton pour s’entraîner.

Carré d’une somme
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a² ab ab b² a b a b

Un carré de côté a + b est composé d’un carré a², d’un carré b² and deux rectangles ab. Cela explique le terme du milieu 2ab .

Carré du premier terme, plus double produit, plus carré du deuxième terme.

Exemple (x + 3)2 = x2 + 2·x·3 + 32 = x2 + 6x + 9 (2x + 5y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2
Carré d’une différence
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Comme le carré d’une somme, mais le terme du milieu est négatif. Le dernier terme b² est toujours positif.

Exemple (2x − 5)2 = (2x)2 − 2·2x·5 + 52 = 4x2 − 20x + 25
Différence de deux carrés
a2 − b2 = (a − b)(a + b)

L’identité fonctionne dans les deux sens : pour développer et factoriser.

Exemples 9x2 − 49 = (3x − 7)(3x + 7) 98 · 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10,000 − 4 = 9,996
Rationaliser le dénominateur
a√m − n = a(√m + n)m − n2

Multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué. Le dénominateur devient une différence de carrés et la racine disparaît.

Exemple 4√5 − 1 = 4(√5 + 1)5 − 1 = √5 + 1
Transformer les formules

Pour isoler une variable, applique la même opération inverse aux deux membres : addition ↔ soustraction, multiplication ↔ division, carré ↔ racine carrée. Note chaque étape.

Exemple : isoler h
A = a·h2/ ·2
2A = a·h/ ÷a
h = 2Aa
Erreurs fréquentes
(a + b)2 = a2 + b2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(3x)2 = 3x2(3x)2 = 9x2
5 − (x − 2) = 5 − x − 25 − (x − 2) = 5 − x + 2
√a2 + b2 = a + b√a2 + b2 ne peut pas être simplifié
(√3)2 = 9(√3)2 = 3,  (2√3)2 = 4·3 = 12

À savoir : (a − b)2 = (b − a)2, car deux nombres opposés ont le même carré.

Approfondissement

Cubesapprofondissement
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Dans la somme et la différence de cubes, la seconde parenthèse contient une seule fois ab (not 2ab), avec le signe opposé à celui de la première parenthèse.

Exemple x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)